在平面直角坐标系中.抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+tx+t+$\frac{1}{2}$与x轴交于A.B两点.其顶点M在直线y=2x上．(1)求t的值,(2)如图.C为线段OM上一点.过C作x轴的平行线交线段BM于点D.以CD为边向上作正方形CDEF.CF.DE分别交此抛物线于P.Q两点.是否存在这样的点C.使得正方形CDEF的面积的周长恰好被直线PQ平分?若存在.求C� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+tx+t+$\frac{1}{2}$与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点M在直线y=2x上．
（1）求t的值；
（2）如图，C为线段OM上一点，过C作x轴的平行线交线段BM于点D，以CD为边向上作正方形CDEF，CF、DE分别交此抛物线于P、Q两点，是否存在这样的点C，使得正方形CDEF的面积的周长恰好被直线PQ平分？若存在，求C点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将此抛物线A、B之间的部分（含点A 和点B）向右平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将直y=4x+6向下平移n个单位．请结合图象回答：平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围．

分析（1）利用二次函数顶点坐标求法结合顶点M在直线y=2x上，得出关于t的等式求出即可；
（2）首先求出直线MB的解析式，进而表示出E，F，P，Q的坐标，利用正方形CDEF的面积的周长恰好被直线PQ平分，则CP=EQ，求出m的值即可；
（3）首先假设平移后的直线与平移的二次函数相切，则方程4x+6+n=-$\frac{1}{2}$（x-3+n）（x+1+n）有两个相等的实数根，求出n的值不合题意，再利用平移后的直线与平移后的抛物线不相切，结合图象可知，平移后的直线与抛物线G有两个公共点，则这两个临界的交点为：（-n-1，0）与（3-n，0），代入关系式求出即可．

解答解：（1）由y=-$\frac{1}{2}$x²+tx+t+$\frac{1}{2}$可得：
x=-$\frac{b}{2a}$=t，y=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{2（t+\frac{1}{2}）-{t}^{2}}{2}$，
∵顶点M在直线y=2x上，
∴$\frac{2（t+\frac{1}{2}）-{t}^{2}}{2}$=2t，
解得：t₁=t₂=1，
∴抛物线解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$；

（2）如图1，∵M（1，2），B（3，0），设直线MB的解析式为：y=kx+d，
则$\left\{\begin{array}{l}{k+d=2}\\{3k+d=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{d=3}\end{array}\right.$，
∴直线MB的解析式为：y=-x+3．
设C（m，2m），∴D（3-2m，2m），
∴正方形CDEF的边长为：3-3m，
∴E（3-2m，3-m），F（m，3-m），P（m，-$\frac{1}{2}$m²+m+$\frac{3}{2}$），Q（3-2m，-2m²+4m），
∵正方形CDEF的面积的周长恰好被直线PQ平分，
∴PQ过正方形的中心，
∴CP=EQ，
∴（-$\frac{1}{2}$m²+m+$\frac{3}{2}$）-2m=（3-m）-（-2m²+4m），
整理得：5m²-8m+3=0，
∴解得：m₁=$\frac{3}{5}$，m₂=1（舍去），
∴C（$\frac{3}{5}$，$\frac{6}{5}$）；

（3）如图2，由题意可得，点B，C间部分图象的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$（x-3）（x+1），-1≤x≤3，
则抛物线向左平移后得到的图象G的解析式为：
y=-$\frac{1}{2}$（x-3+n）（x+1+n），-n-1≤x≤3-n，
此时直线平移后的解析式为：y=4x+6+n，
如果平移后的直线与平移的二次函数相切，
则方程4x+6+n=-$\frac{1}{2}$（x-3+n）（x+1+n）有两个相等的实数根，
即-$\frac{1}{2}$x²-（n+3）x-$\frac{1}{2}$n²-$\frac{9}{2}$=0有两个相等的实数根，
故△=[-（n+3）]²-4×（-$\frac{1}{2}$）×（-$\frac{1}{2}$n²-$\frac{9}{2}$）=6n=0，
即n=0，
∵与已知n＞0相矛盾，
∴平移后的直线与平移后的抛物线不相切，
∴结合图象可知，平移后的直线与抛物线G有两个公共点，
则这两个临界的交点为：（-n-1，0）与（3-n，0），
则0=4（-n-1）+6+n，
解得：n=$\frac{2}{3}$，
0=4（3-n）+6+n，
解得：n=6，
即n的取值范围是：$\frac{2}{3}$≤n≤6．