Question

1．如图所示，过等边△ABC的顶点A，B，C依次作AB，BC，CA的垂线围成△A₁B₁C₁，再过△A₁B₁C₁的顶点A₁、B₁、C₁依次作A₁B₁、B₁C₁、A₁C₁的垂线围成△A₂B₂C₂…依照此规律直至构成△A_nB_nC_n，若S_△ABC=S，则S${\;}_{△{A}_{n}}$${\;}_{{B}_{n}}$${\;}_{{C}_{n}}$=3ⁿS．

Answer 1

分析 易证△ABC、△A₁B₁C₁、△A₂B₂C₂、…相似，设△ABC的边长为1，根据勾股定理求出A₁B₁=$\sqrt{3}$，A₂B₂=3，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可知：S△A₁B₁C₁=3S，S△A₂B₂C₂=9S，S△A₃B₃C₃=27S，于是S△A_nB_nC=3ⁿS．

解答 解：设AB=1，在△A₁AB₁中
根据勾股定理A₁A=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，A₁B=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵A₁A=BB₁，
∴A₁B₁=$\sqrt{3}$，
∵△ABC、△A₁B₁C₁、△A₂B₂C₂、…相似，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}}$=（$\frac{AB}{{A}_{1}{B}_{1}}$）²=$\frac{1}{3}$，
∵S_△ABC=S，
∴S_△A1B1C1=3S，
∴S△A₂B₂C₂=9S，S△A₃B₃C₃=27S，
依此类推，
S△A_nB_nC_n=3ⁿS．
故答案为：3ⁿS．

点评 本题主要考查了三角形相似的判定与性质、勾股定理以及运用图形探索图形规律问题，发现相邻的两个三角形相似比为$\frac{1}{3}$是解决问题的关键．