题目内容
11．如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF，BD⊥CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，AC与BG的交点为M，当AB=4，AD=$\sqrt{2}$时，求线段CM的长．
分析 （1）根据△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，根据角边角关系证出△BAD≌△CAF，根据全等三角形的对应边相等，即可证得BD=CF；先延长BD交CF于点G，BG交AC于点M，根据（1）证出的△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又根据对顶角相等，得出△BMA∽△CMG，再根据根据相似三角形的对应角相等，可得∠BGC=∠BAC=90°，即可证出BD⊥CF；
（3）首先过点F作FN⊥AC于点N，利用勾股定理即可求得AE，BC的长，继而求得AN，CN的长，又由等角的三角函数值相等，可求得AM的值，从而求出CM的值．
解答 解：（1）BD=CF、BD⊥CF成立．
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAF=∠DAF-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$
∴△BAD≌△CAF（SAS）．
∴BD=CF．
如图2，延长BD交CF于点G，BG交AC于点M．
∵△BAD≌△CAF（已证），
∴∠ABM=∠GCM．
∵∠BMA=∠CMG，
∴△BMA∽△CMG．
∴∠BGC=∠BAC=90°．
∴BD⊥CF．
（2）如图3，过点F作FN⊥AC于点N．
∵在正方形ADEF中，AD=DE=$\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=2，
∴AN=FN=$\frac{1}{2}$AE=1
∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，
∴CN=AC-AN=3，BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．
∴在Rt△FCN中，tan∠FCN=$\frac{FN}{CN}=\frac{1}{3}$．
∴在Rt△ABM中，tan∠ABM=$\frac{AM}{AB}$=tan∠FCN=$\frac{1}{3}$．
∴AM=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{4}{3}$．
∴CM=AC-AM=4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$．
点评 此题考查了四边形的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数等知识，此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想应用．
步步高达标卷系列答案
如图所示，过等边△ABC的顶点A，B，C依次作AB，BC，CA的垂线围成△A1B1C1，再过△A1B1C1的顶点A1、B1、C1依次作A1B1、B1C1、A1C1的垂线围成△A2B2C2…依照此规律直至构成△AnBnCn，若S△ABC=S，则S${\;}_{△{A}_{n}}$${\;}_{{B}_{n}}$${\;}_{{C}_{n}}$=3nS．
已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点E是边AC上一动点，过点E作EF∥BC，交AB边于点F，点D为BC上任一点，连接DE，DF．设EC的长为x，则△DEF的面积y关于x的函数关系大致为（ ）
| A． | 第一象限 | B． | 第二象限 | C． | 第三象限 | D． | 第四象限 |
如图，小黄和小陈观察蜗牛爬行，蜗牛在以A为起点沿直线匀速爬向B点的过程中，到达C点时用了6分钟，那么还需要多长时间才能到达B点？