Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，交⊙O于C、D两点，交AB点E、F是弧BD上一点，过点F作一条直线，交CD的延长线于点G，交AB的延长线于点M．连结AF，交CD于点H，GF＝GH．

（1）求证：MG是⊙O的切线；

（2）若弧AF＝弧CF，求证：HC＝AC；

（3）在（2）的条件下，若tanG＝，AE＝6，求GM的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）GM＝．

【解析】

（1）连接OF，先证明∠GFH＝∠GHF＝∠AHE，再证明OF⊥GM即可．

（2）证明AC∥GM，再证明∠CAH＝∠CHA即可得到答案．

（3）解直角三角形求出EC，AC，设GF＝GH＝x，则CG＝CH+GH＝AC+GH＝10+x，利用切线长定理构建方程求出x即可解决问题．

（1）证明：连接OF．

∴AB⊥CD，

∴∠AEH＝90°，

∴∠EAH+∠AHE＝90°，

∵GF＝GH，

∴∠GFH＝∠GHF＝∠AHE，

∵OA＝OF，

∴∠OAF＝∠OFA，

∴∠OFA+∠GFH＝90°，

∴OF⊥GM，

∴MG是⊙O的切线．

（2）证明：∵弧AF＝弧CF，

∴OF垂直平分线段AC

∵OF⊥MG，

∴AC∥GM，

∴∠CAH＝∠GFH，

∵∠CHA＝∠GHF，∠HGF＝∠GFH，

∴∠CAH＝∠CHA，

∴CA＝CH．

（3）解：∵AC∥GM，

∴∠G＝∠ACH，

∴tan∠CAH＝tan∠G＝ ，

∵AE＝6，

∴EC＝8，AC＝，

设GF＝GH＝x，则CG＝CH+GH＝AC+GH＝10+x，

∵CD＝2EC＝16，

∴GD＝10+x﹣16＝x﹣6，

∵GF2＝GDGC，

∴x2＝（x﹣6）（x+10），

解得x＝15，

∴EG＝CG﹣CE＝25﹣8＝17，

∵tan∠G＝，

∴EM＝，

∴GM＝．