题目内容
【题目】如图，抛物线
与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（–1，0），且直线BC的解析式为y=
x-2，作垂直于x轴的直线
，与抛物线交于点F，与线段BC交于点E（不与点B和点C重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△CEF是以CE为腰的等腰三角形，求m的值；
（3）点P为y轴左侧抛物线上的一点，过点P作
交直线BC于点M，连接PB，若以P、M、B为顶点的三角形与△ABC相似，求P点的坐标．
【答案】（1）
；（2）
或
；（3）符合条件的点P为P1（-1，0）或
【解析】
（1）将y=0代入y=
x-2中，即可求出点B的坐标，然后利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先分别用m表示出点E和点F的坐标，然后根据勾股定理分别求出CE2、CF2和EF2，然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别求出对应的m值即可；
（3）根据勾股定理的逆定理证出△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，然后根据相似三角形的对应情况分类讨论，利用相似三角形的判定及性质和锐角三角函数即可求出结论．
解：（1） 由题意得：
将y=0代入y=x-2中，得x=4
∴点B的坐标为（4,0）
将A（-1，0），B（4，0）代入
得
，
解得，
（2） 
∴
（i） 若以C为等腰三角形的顶点，则CE2=CF2
∴
解得：m1=2，m2=4（不符合前提条件，故舍去）；
（ii） 若以E为等腰三角形的顶点，则EC2=EF2
∴
解得：
（不符合前提条件，故舍去）；
综上：m=2或
（3） ①根据勾股定理可得：AC=
=
，BC=
=
，AB=5
∴AC2+BC2=25=AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°
∴当点P与点A重合时，点M与点C重合，此时P1（-1，0），
②如图，当△BPM∽△ABC时，
∴∠BPM=∠ABC
过点M作HR∥x轴，作PH⊥HR于点H，BR⊥HR与点R，
∴∠PHM=∠MRB=∠PMB=90°
∴∠HPM＋∠PMH=90°，∠RMB＋∠PMH=90°
∴∠HPM=∠RMB
∴△PHM∽△MRB
∴
又∵AB//HR
∴
∴
令BR=a，MR=2a
又∵
∴
∴
∴PH=4a，HM=2a，PQ=3a，
又∵点P在抛物线上，将
代入
整理，得
解得：
（舍），
∴
∴符合条件的点P为P1（-1，0）或
