Question

已知，在平面直角坐标系中，点O为原点，双曲线y₁=

2

x

和直线y₂=kx+3相交于点A、B，其中点A的横坐标为1．
（1）求k值及B点坐标；
（2）求△AOB的面积；
（3）当y₁＞y₂时，写出x的取值范围．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）先把x=1代入y₁=

2

x

，得到y₁=2，所以A（1，2），再把A（1，2）代入y₂=kx+3，求出k=-1．然后把y₁=

2

x

代入y₂=-x+3，整理得，x²-3x+2=0，解方程求出x的值，进而得到B点坐标为（2，1）；
（2）作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D．根据反比例函数比例系数k的几何意义得出△AOC的面积=△BOD的面积，于是△AOB的面积=△AOC的面积+梯形ABDC的面积-△BOD的面积=梯形ABDC的面积，根据梯形的面积公式代入数值计算即可求解；
（3）求当y₁＞y₂时x的取值范围，即是求双曲线落在直线上方的部分对应的x的取值范围，观察图象即可求解．

解答：解：（1）把x=1代入y₁=

2

x

，得y₁=2，
所以A（1，2）．
把A（1，2）代入y₂=kx+3，得k+3=2，
解得k=-1．
把y₁=

2

x

代入y₂=-x+3，得

2

x

=-x+3，
整理得，x²-3x+2=0，
解得x=1或2，
所以B点坐标为（2，1）；

（2）作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D．
∵点A、B都在反比例函数y₁=

2

x

的图象上，
∴△AOC的面积=△BOD的面积，
∴△AOB的面积=△AOC的面积+梯形ABDC的面积-△BOD的面积
=梯形ABDC的面积
=

1

2

（AC+BD）•CD
=

1

2

（2+1）×1
=1.5；

（3）由图象可知，当y₁＞y₂时，0＜x＜1或x＞2．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，三角形的面积公式，数形结合思想．