Question

如图1，在平面直角坐标系中，已知A（-5，0），C（0，-4），点B在y轴正半轴上，满足S_△ABC=20，点P（m，0），（-4＜m＜0），线段PB绕点P顺时针旋转90°至PD．
（1）求证：OB=OC；
（2）求点D的坐标；（用含m的式子表示）
（3）如图2，连接CD并延长交x轴于点E，求证：∠PDC=45°+∠PBO．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,三角形的面积

专题：

分析：（1）根据△BAC面积即可求得BC的长，即可解题；
（2）作DF⊥AE，易证∠PBO=∠DPF，即可证明△OPB≌△FDP，可得DF=OP，PF=OB，即可求得点D坐标；
（3）易求直线CD斜率即可求得∠DEF的大小，根据△OPB≌△FDP可得∠PBO=∠DPF，根据三角形外角性质即可解题．

解答：（1）证明：∵S_△ABC=20，
∴

1

2

BC•AO=20，
∴BC=8，
∵CO=4，∴BO=4，
∴B点坐标（0，4）；
（2）解：作DF⊥AE，

∵∠PBO+∠OPB=90°，∠OPB+∠DPF=90°，
∴∠PBO=∠DPF，
∵在△OPB和△FDP中，

∠DFP=∠POB=90° ∠PBO=∠DPF BP=DP

，
∴△OPB≌△FDP，（AAS）
∴DF=OP=-m，PF=OB=4，
∴点D坐标（4+m，m）；
（3）证明：∵直线CD经过C，D两点，
∴直线CD斜率为

m-(-4)

m+4-0

=1，
∴∠DEF=45°，
∵△OPB≌△FDP，
∴∠PBO=∠DPF，
∵∠CDP=∠DPF+∠DEF，
∴∠CDP=∠PBO+45°．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△OPB≌△FDP是解题的关键．