Question

6．已知：⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点D，过点C作CE∥AB交DA的延长线于点E
（1）如图1，若A是弧CD的中点，求证：∠B+∠E=90°；
（2）如图2，若D是弧AB的中点，AB=10，tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）连接AC，根据圆心角、弧、弦之间的关系得出∠BAD=∠BAC，根据平行线得出∠E=∠DAB=∠CAB，根据圆周角定理得出∠BAC+∠B=90°，即可得出答案；
（2）连接CA，过点C作CF⊥AB于F，过点A作AG⊥EC于G，解直角三角形求出AF、CG、CF、AG、EG，即可得出答案．

解答 证明：（1）连接CA，
∵A弧为CD的中点，
∴∠BAD=∠BAC，
∵CE∥AB，
∴∠E=∠DAB=∠CAB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BAC+∠B=90°，
∴∠E+∠B=90°；


（2）∵D为弧AB的中点，
∴DA=BD，
连接CA，过点C作CF⊥AB于F，过点A作AG⊥EC于G，
则∠CFB=∠AFC=∠AGC=90°，
所以AGCF是矩形，
∴AF=CG，AG=CF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠CFB=90°，∠A+∠ACF=90°，
∵AB=10，tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{3}{4}$=$\frac{CF}{BF}$=$\frac{AF}{CF}$，
∴AC=6，BC=8，
∴CF=AG=$\frac{24}{5}$，AF=GC=$\frac{18}{5}$，
∵∠E+∠B=90°，
∴tanB=cotE，
∴$\frac{EG}{AG}$=$\frac{3}{4}$，
∴EG=$\frac{18}{5}$，
∴EC=EG+CG=$\frac{42}{5}$．

点评 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，平行线的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键．