Question

13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A（-2，0），B（0，-2$\sqrt{3}$），C（4，0），其中对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）点M在抛物线的对称轴上，若△ABM为等腰三角形，则符合题意的点M有5个；
（3）点P是直线x=2上的一个动点，若∠APB不小于60°，求点P的纵坐标P的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线经过A（-2，0），C（4，0）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4），把B（0，-2$\sqrt{3}$）代入得a=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，由此即可解决问题．
（2）如图1中，当AM=AB时，对称轴时有两个点满足条件M₁与M₂，当BM=BA时，对称轴上也有两个点满足条件M₃，M₄，大部分MA=MB时，只有一个点满足条件M₅．所以满足条件的点有5个，
（3）由tan∠OAB=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，推出∠OAB=60°，∠ABO=30°，推出AB=2OA=4，设直线x=2与x轴交于点G（2，0），则△ABG是等边三角形，作△ABG的外接圆交直线x=2于K点，由∠AKB=∠AG′B=60°，推出当点P在线段GK上时，∠APB不小于60°，求出点K的坐标即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线经过A（-2，0），C（4，0）
∴设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4），把B（0，-2$\sqrt{3}$）代入得a=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+2）（x-4），即y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-2$\sqrt{3}$．
∵y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-2$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-1）²-$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∴顶点坐标为（1，-$\frac{9\sqrt{3}}{4}$）．

（2）如图1中，当AM=AB时，对称轴时有两个点满足条件M₁与M₂，当BM=BA时，对称轴上也有两个点满足条件M₃，M₄，大部分MA=MB时，只有一个点满足条件M₅．所以满足条件的点有5个，
故答案为5．


（3）如图2中，

∵tan∠OAB=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴∠OAB=60°，∠ABO=30°，
∴AB=2OA=4，设直线x=2与x轴交于点G（2，0），则△ABG是等边三角形，作△ABG的外接圆交直线x=2于K点，
∵∠AKB=∠AG′B=60°，
∴当点P在线段GK上时，∠APB不小于60°，
易知△ABG的外接圆的圆心坐标为（0，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），设K（2，m），
则有$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{{2}^{2}+（m+\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}$，
解得：m=0或-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴满足条件的点P的纵坐标P的取值范围-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$≤m≤0．

点评 本题考查二次函数综合题、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，三角形的外接圆的有关性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思考思考问题，学会添加常用辅助线（构造辅助圆）解决问题，属于中考压轴题．