Question

12．如图，直线l₁与直线l₂：y=$\frac{3}{4}$x相交于点A（2a+1，3），且与y轴交于点B（0，6）．
（1）求a的值；
（2）求直线1₁的函数关系式；
（3）直线l平行于y轴，分别交直线l₁，l₂、x轴于点M、N、P，设点P的横坐标为t（t＞0，t≠4），在y轴上是否存在点F，使得△FMN为等腰直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点A（2a+1，3）代入y=$\frac{3}{4}$x，即可求得a的值；
（2）利用待定系数法即可求得直线1₁的函数关系式；
（3）分别利用t表示出M、N的坐标，可表示出MN，分∠FMN、∠FNM和∠MFN为直角三种情况，分别求得F点的坐标，表示出FM、FN，分别得到关于m的方程可求得m．

解答 解：（1）∵直线l₂：y=$\frac{3}{4}$x经过点A（2a+1，3），
∴3=$\frac{3}{4}$（2a+1），
解得a=$\frac{3}{2}$；
（2）设直线1₁的函数关系式y=kx+b，
∵点A（4，3），点B（0，6）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=3}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$．
∴直线1₁的函数关系式y=-$\frac{3}{4}$x+6；
（3）∵P（t，0）（t＞0，t≠4），则M（t，-$\frac{3}{4}$t+6），N（t，$\frac{3}{4}$t），
∴MN=|-$\frac{3}{2}$t+6|，
Ⅰ）当∠FMN=90°且△FMN为等腰三角形时，F（0，-$\frac{3}{4}$t+6），
∴FM=MN，即：t=|-$\frac{3}{2}$t+6|，
解得：t=$\frac{12}{5}$或t=12，
Ⅱ）同理当∠FNM=90°且△FMN为等腰三角形时，F（0，$\frac{3}{4}$t），
∴FN=MN，即：t=|-$\frac{3}{2}$t+6|，
解得：t=$\frac{12}{5}$或t=12，
Ⅲ）当∠MFN=90°且△FMN为等腰三角形时，F（0，3），
∴FM²=t²+（$\frac{3}{4}$t-3）²，
FN²=t²+（$\frac{3}{4}$t-3）²，
MN²=（-$\frac{3}{2}$t+6）²，
∴MN²=FM²+FN²，
∴t²+（$\frac{3}{4}$t-3）²+t²+（$\frac{3}{4}$t-3）²=（-$\frac{3}{2}$t+6）²，整理可得$\frac{7}{8}$t²+18t-18=0，解得t=$\frac{12}{7}$或t=-12（舍去）；
综上可知存在使得△FMN为等腰直角三角形的点F，此时t的值为$\frac{12}{5}$或$\frac{12}{7}$或12．

点评 本题主要考查待定系数法求函数解析式和等腰三角形的判定、勾股定理等知识点的综合应用．掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键，在（3）中利用t表示出FN、FM和MN得到关于t的方程是解题的关键，注意分类讨论思想和方程思想的应用．