Question

已知：如图，以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，作EF∥AC交BA的延长线于F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：AE²=CD•EF；
（3）若AB=15，EF=10，求DC的长．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）要证EF是⊙O的切线，只要连接OE，再证∠FEO=90°即可；
（2）连接CE，可证明△FEA∽△ECD，得出

EF

EC

=

EA

CD

，即AE•EC=CD•EF，再由AE=CE，即可得出AE²=CD•EF；
（3）证明△FEA∽△FBA，得出AE，BF的比例关系式，勾股定理得出AE，BF的关系式，求出AE的长，即可得出CD的长．

解答：解：（1）证明：连接OE，
∵∠B的平分线BE交AC于D，
∴∠CBE=∠ABE．
∵EF∥AC，
∴∠CAE=∠FEA．
∵∠OBE=∠OEB，∠CBE=∠CAE，
∴∠FEA=∠OEB．
∵∠AEB=90°，
∴∠FEO=90°．
∴OE⊥EF，
∴EF是⊙O切线．

（2）连接CE，
∵∠B的平分线BE交AC于D，
∴AE=CE，
∵EF∥AC，
∴∠F=∠BAC，
∵∠FEA=∠OEB，∠OBE=∠ACE，
∴∠FEA=∠ECA，
∴△FEA∽△ECD，
∴

EF

EC

=

EA

CD

，
即AE•EC=CD•EF，
∴AE²=CD•EF；

（3）∵∠FEA=∠OEB，∠OBE=∠OEB，
∴∠FEA=∠EBA，
∴△AEF∽△EBF，
∴AE：BE=EF：BF=1：2，
∴AF•FB=EF•EF，
∴AF（AF+15）=10×10．
∴AF=5．
∴FB=20．
∵EF=10
∵AE²+BE²=15²，
∴AE=3

5

，
∴DC=

AE2

EF

=4.5．

点评：本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．