Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c图象的对称轴为直线x=-1，与x轴交于点（1，0）和（m，0），与y轴交于负半轴．则下列结论：
①m=-3，②abc＜0，③4a-2b+c＜0，④当x＜1时，y＜0，⑤8a+c＞0．
其中正确结论的个数是（　　）

• A、5个
• B、4个
• C、3个
• D、2个

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的交点坐标为（-3，0）和（1，0），则m=-3，且观察函数图象得到当-3＜x＜1时，y＜0，于是可对①④进行判断；
由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=-1得到b=2a，则b＞0，由抛物线与y轴的交点位置得c＜0，所以abc＜0，于是可对②进行判断；由于x=-2时，函数值小于0，则4a-2b+c＜0，于是可对③进行判断；由于当x=2时，y＞0，则4a+2b+c＜0，然后把b=2a代入得到8a+c＞0，于是可对⑤进行判断．

解答：解：∵对称轴为直线x=-1，
∴点（1，0）和（m，0）关于直线x=-1对称，
∴m=-3，所以①正确；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=-1，
∴b=2a，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以②正确；
∵当x=-2时，y＜0，
∴4a-2b+c＜0，所以③正确；
∵抛物线与x轴的交点坐标为（-3，0）和（1，0），
∴当-3＜x＜1时，y＜0，所以④错误；
∵当x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＜0，
而b=2a，
∴4a+4a+c＞0，即8a+c＞0，所以⑤正确．
故选B．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；△决定抛物线与x轴交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．