Question

【题目】如图1，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B（点A在点B左边），O为坐标原点．点D是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点D作DE∥x轴交直线BC于点E．点P为∠CAB角平分线上的一动点，过点P作PQ⊥BC于点H，交x轴于点Q；点F是直线BC上的一个动点．

（1）当线段DE的长度最大时，求DF+FQ+PQ的最小值．

（2）如图2，将△BOC沿BC边所在直线翻折，得到△BOC′，点M为直线BO′上一动点，将△AOC绕点O顺时针旋转α度（0°＜α＜180°）得到△A′OC′，当直线A′C′，直线BO′，直线OM围成的图形是等腰直角三角形时，直接写出该等腰直角三角形的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）围成的三角形面积为：．

【解析】

（1）求出点A、B、C的坐标得AC长度与直线BC解析式，设D（a，），知E（）、DE＝a﹣，然后求出a其最大值，即可求出DE的最大值，此时可求出D的坐标．再证AQ＝PQ，得＝，将射线AB绕A顺时针旋转30°得到直线AM，过点D作AM的垂线于点M，交x轴于点Q′，则．当Q运动到Q′时，有＝DM，过D作DN⊥x轴于点N，可得△AQ′M与△DQ′N相似，然后求出各个线段的长即可；

（2）分六种情况进行讨论，然后求出每一种情况下利用切线的性质、直角三角形的性质求出等腰直角三角形的腰长，利用直角三角形的性质可得答案．

（1）如图1，

当x＝0时，y＝3．

当y＝0时，．

∴，，

∴AC⊥BC，且∠ABC＝30°，AC＝，且

设D（a，），则E（）

∴DE＝a﹣

∴当a＝﹣时，DE最大．此时D（）

∵AP平分∠CAB，

∴∠PAB＝∠CAB＝30°，

∵PQ⊥BC，

∴∠PQB＝60°，

∴∠P＝∠PQB﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°＝∠PAB，

∵PQ⊥BC，

∴PQB＝60°，

∴AQ＝PQ，

∴＝，

将射线AB绕A顺时针旋转30°得到直线AM，过点D作AM的垂线于点M，交x轴于点Q′，则．

当Q运动到Q′时，有＝DM，

过D作DN⊥x轴于点N，可得△AQ′M与△DQ′N相似，

DN＝Dy＝，AN＝

∴Q′N＝，DQ′＝，AQ′＝AN﹣Q′N＝

∴Q′M＝，

∴DM＝DQ′+Q′M＝

＝DM＝．

（2）第一种情况：如图2，

NH＝r＝，QH＝＝，OQ＝2r＝3，

QN＝QH﹣NH＝，QB＝3，QP＝，

PN＝PQ﹣QN＝6，S1＝18．

第二种情况，如图3，

QH＝，HN＝r＝，

QB＝3+3，QP＝，

PN＝PQ﹣QH﹣HN＝3，；

第三种情况，如图4，

ON＝，OM＝，

MQ＝OM﹣r＝，

第四种情况，如图5，

OB＝，OM＝，ON＝，MN＝OM﹣0N＝，

．

第五种情况，如图6，

MN＝BN＝OBsin15°＝

ON＝OBcos15°＝，

OM＝ON+MN＝，HM＝OM﹣r＝，

；

第六种情况，如图7，

OM＝，ON＝，MN＝OM﹣ON＝，

；

综上所述，围成的三角形面积为：；．