Question

1．如图，AE平分∠BAC，BD=DC，DE⊥BC，EM⊥AB，若AB=9，AC=5．则AM=（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 过点E作EM⊥AC的延长线于点M，连接BE、EC，利用角平分线的性质、垂直平分线的性质得到EM=EN，EB=EC，证明Rt△BME≌Rt△CNE（HL），得到BM=CN，证明Rt△AME≌Rt△ANE（HL），得到AM=AN，由AM=AB-BM=AB-CN=AB-（AN-AC）=AB-AN+AC=AB-AM+AC，即AM=9-AM+5，即可解答．

解答 解：如图，过点E作EM⊥AC的延长线于点M，连接BE、EC，

∵BD=DC，DE⊥BC
∵BE=EC．
∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC，
∴EM=EN，∠EMB=∠ENC=90°．
在Rt△BME和Rt△CNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=EC}\\{EM=EN}\end{array}\right.$，
∴Rt△BME≌Rt△CNE（HL）
∴BM=CN，
在RtAME和Rt△ANE中，
$\left\{\begin{array}{l}{EM=EN}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△AME≌Rt△ANE（HL）
∴AM=AN，
∴AM=AB-BM=AB-CN=AB-（AN-AC）=AB-AN+AC=AB-AM+AC，
即AM=9-AM+5
2AM=9+5
2AM=14
AM=7．
故选：C．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明Rt△BME≌Rt△CNE（HL），得到BM=CN，证明Rt△AME≌Rt△ANE（HL），得到AM=AN．