Question

3．抛物线y=ax²+c的顶点为（0，4），且与抛物线y=$\frac{1}{2}$x²的形状相同，开口相反．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求抛物线y=ax²+c与x轴的交点坐标；
（3）当x取何值时，ax²+c＞0？
（4）若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），在抛物线y=ax²+c上，且x₁＜x₂＜0，试比较y₁与y₂的大小．

Answer 1

分析 （1）两个抛物线形状相同，开口相反说明a互为相反数，再根据顶点坐标即可写出抛物线的解析式．
（2）令y=0解方程即可解决问题．
（3）利用图象法即可解决．
（4））根据抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+4，开口向下，对称轴为y轴，推出x＜0时，y随x的增大而增大，由此即可判断．

解答 解：（1）由题意抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+4．
（2）对于抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+4，令y=0，得到-$\frac{1}{2}$x²+4=0，解得x=±2$\sqrt{2}$，
∴抛物线y=ax²+c与x轴的交点坐标为（2$\sqrt{2}$，0）或（-2$\sqrt{2}$，0）．
（3）由图象可知当-2$\sqrt{2}$＜x＜2$\sqrt{2}$时，ax²+c＞0．
（4）∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+4，开口向下，对称轴为y轴，
∴x＜0时，y随x的增大而增大，
∴x₁＜x₂＜0时，
∴y₁＜y₂．

点评 本题考查二次函数与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．