Question

如图，在?ABCD中，AB⊥AC，以点A为圆心，AB为半径的圆交BC于点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）如果BE=4，CE=2，求DE的值．

Answer 1

考点：切线的判定,平行四边形的性质

专题：证明题

分析：（1）根据平行四边形的性质得AB=CD，BC=AD，AB∥CD，∠B=∠ADC，由AB⊥AC得到AC⊥CD，由AD∥BC得到∠AEB=∠DAE，而AB=AE，所以∠B=∠AEB，AE=DC，∠DAE=∠ADC，于是可证明△AED≌△DCA，得到∠AED=∠DCA=90°，则可根据切线的判定定理得到DE为⊙O的切线；
（2）作AH⊥BE，如图，根据垂径定理得BH=CH=

1

2

BE=2，再证明Rt△BAH∽Rt△BCA，利用相似比计算出AB=2

3

，然后在Rt△AED中利用勾股定理计算DE的长．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，AB∥CD，∠B=∠ADC，
∵AB⊥AC，
∴AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAE，
∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB，AE=DC，
∴∠DAE=∠ADC，
在△AED和△DCA中，

AE=DC ∠DAE=∠ADC AD=DA

，
∴△AED≌△DCA（SAS），
∴∠AED=∠DCA=90°，
∴AE⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：作AH⊥BE，如图，
则BH=CH=

1

2

BE=2，
∵∠ABH=∠CBA，
∴Rt△BAH∽Rt△BCA，
∴

BA

BC

=

BH

BA

，即

BA

4+2

=

2

BA

，
∴AB=2

3

，
∴AE=2

3

，
在Rt△AED中，∵AD=BC=6，AE=2

3

，
∴DE=

AD2-AE2

=2

6

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了平行四边形的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质．