Question

如图，已知AB=10，点P是线段AB上的动点，以AP为边作正六边形APCDEF，以PB为底作等腰△BPN，连接PD、DN，则△PDN的面积的最大值是（　　）

• A、6

  3

• B、

  25 3

  4

• C、7

  3

• D、

  25 3

  2

Answer 1

考点：含30度角的直角三角形,三角形的面积,等腰三角形的性质,多边形

专题：

分析：根据正六边形的性质求得EF∥AD，DP⊥AB，DP⊥ED，正六边形的每一个内角为120°，进而求得∠ADP=30°，从而求得PD=

3

PA，设PA=x．则PB=10-x，根据等腰三角形的性质求得PM=

1

2

PB=

1

2

（10-x），根据三角形的面积就可得出S_△PDN=

1

2

PD•PM=-

3

4

（x-5）²+

25 3

4

，从而得出△PDN的面积的最大值．

解答：解：连接AD，作NM⊥PB于M，
∵六边形APCDEF是正六边形，
∴EF∥AD，DP⊥AB，DP⊥ED，正六边形的每一个内角为120°，
∴∠ADE=60°，
∴∠ADP=30°
∴PD=

3

PA，
∵DP⊥AB，NM⊥PB
∴PD∥MN，
∴PM就是△PDN的PD边的高，
设PA=x．则PB=10-x，
∵在等腰△BPN中，MN⊥PB，
∴PM=PB，
∴PM=

1

2

PB=

1

2

（10-x），
∴S_△PDN=

1

2

PD•PM=

1

2

×

3

x×

1

2

（10-x）=-

3

4

（x-5）²+

25 3

4

，
∴△PDN的面积的最大值为：

25 3

4

．
故选B

点评：本题考查了正六边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线间的距离以及三角形的面积等，作出辅助线是本题的关键．