Question

1．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AH⊥BC于H，以AB和AC为边在Rt△ABC外作等边△ABD和△ACE，求证：DH⊥HE．

Answer 1

分析 首先根据∠BAC=90°，AH⊥BC于H，判断出∠ABH=∠CAH，进而判断出∠DBH=∠EAH；然后根据相似三角形的判定方法，判断出△ABH∽△CAH，即可判断出$\frac{AB}{AC}=\frac{BH}{AH}$，再根据AB=BD，AH=AE，判断出$\frac{BD}{AE}=\frac{BH}{AH}$，据此判断出△BDH∽△AEH，推得∠BHD=∠AHE；最后判断出∠DHE=90°，即可判断出DH⊥HE．

解答 解：∵∠BAC=90°，
∴∠BAH+∠CAH=90°，
∵AH⊥BC，
∴∠ABH+∠BAH=90°，
∴∠ABH=∠CAH，
又∵∠DBH=∠ABH+60°，∠EAH=∠CAH+60°，
∴∠DBH=∠EAH，
在△ABH和△CAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABH=∠CAH}\\{∠AHB=∠CHA}\end{array}\right.$，
∴△ABH∽△CAH，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BH}{AH}$，
又∵AB=BD，AH=AE，
∴$\frac{BD}{AE}=\frac{BH}{AH}$，
在△BDH和△AEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{BD}{AE}=\frac{BH}{AH}}\\{∠DBH=∠EAH}\end{array}\right.$
∴△BDH∽△AEH，
∴∠BHD=∠AHE，
∵∠BHD+AHD=90°，
∴∠AHE+AHD=90°，
即∠DHE=90°，
∴DH⊥HE．

点评 （1）此题主要考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定方法．
（2）此题还考查了等边三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等边三角形的内角都相等，且为60度；②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合．③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高或所对角的平分线所在的直线．