Question

13．如图，在平面直角坐标系内，直线AB过一、二、三象限，分别交x轴、y轴于A、B两点，直线CD⊥AB于点D，分别交x轴、y轴于C、E，已知AB=AC=10，S_△ACD=8，且B（0，6）．
（1）求证：△AOB≌△ADC；
（2）求点A的坐标；
（3）点M为线段OA上一动点，作∠NME=∠OME，且MN交AD于点N，当点M运动时，求$\frac{MO+ND}{MN}$的值．

Answer 1

分析 （1）由CD⊥AB，x轴⊥y轴，得到∠BOA=∠CDA=90°，根据∠OBA+∠BAO=90°，∠DCA+∠DAC=90°，所以∠OBA=∠DCA，即可得到△AOB≌△ADC（AAS）．
（2）由B（0，6），所以OB=6，在Rt△AOB中，OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=8，所以点A的坐标为（-8，0）．
（3）根据全等三角形的性质得到BO=CD=6，AD=OA=8，求得DB=2，由点A的坐标为（-8，0），AC=10，得到OC=10-8=2，于是得到BD=OC推出△BED≌△CEO（AAS）根据全等三角形的性质得到ED=OE，如图2，过E作EP垂直于MN于P，连接EN，根据∠NME=∠OME，得到EP=OM，通过Rt△BED≌Rt△CEO（AAS），得到ED=OE，如图2，过E作EP垂直于MN于P，连接EN，证明Rt△MPE≌Rt△MOE，所以EP=OE，MO=MP，得到EP=ED，再证明Rt△DEN≌Rt△EPN，得到DN=PN，所以MN=MP+PN=MO+DN，即可得到结论．

解答 解：（1）∵CD⊥AB，x轴⊥y轴，
∴∠BOA=∠CDA=90°，
∴∠OBA+∠BAO=90°，∠DCA+∠DAC=90°，
∴∠OBA=∠DCA，
在△AOB和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOA=∠CDA}\\{∠OBA=∠DCA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△ADC（AAS）．

（2）∵B（0，6），
∴OB=6，
在Rt△AOB中，OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=8，
∴点A的坐标为（-8，0）．

（3）∵△AOB≌△ADC，OB=6，
∴BO=CD=6，AD=OA=8，
∴DB=2，
∵点A的坐标为（-8，0），AC=10，
∴OC=10-8=2，
∴BD=OC
在△BED和△CEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDE=∠COE=90°}\\{∠BED=∠CEO}\\{BD=CO}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△CEO（AAS）
∴ED=OE，
如图2，过E作EP垂直于MN于P，连接EN，
∵∠NME=∠OME，
∴EP=OM，
在Rt△MPE和Rt△MOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{EP=OM}\\{EM=EM}\end{array}\right.$，
∴Rt△MPE≌Rt△MOE，
∴EP=OE，MO=MP，
∴EP=ED，
在Rt△DEN和Rt△EPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{EN=EN}\\{EP=ED}\end{array}\right.$，
∴Rt△DEN≌Rt△EPN，
∴DN=PN，
∴MN=MP+PN=MO+DN
∴$\frac{MO+ND}{MN}$=1．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明三角形全等，根据全等三角形的性质定理得到相等的边．