Question

14．探索发现
（1）数学课上，老师出了一道题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=22.5°，请你你在图1中，构造一个合适的等腰直角三角形，求tan22.5°的值（结果可带根号）．
学以致用
（2）如图2，厂房屋顶人字架（AB=BD）的跨度10米（即AD=10米），∠A=22.5°，BC是中柱（C为AD的中点）请运用（1）中的结论求中柱BC的长（结果可带根号）．

Answer 1

分析 （1）在AC上截取CE=BC=x，结合等腰直角三角形的性质以及利益锐角三角函数关系得出答案；
（2）利用（1）中所求，由tan22.5°=$\sqrt{2}$-1=$\frac{BC}{5}$，进而得出BC的长．

解答 解：（1）在AC上截取CE=BC=x，
∵CE=BC，∠C=90°，
∴∠BEC=45°，
∵∠A=22.5°，
∴∠ABE=22.5°，
∴AE=BE=$\sqrt{2}$x，
∴AC=$\sqrt{2}$x+x，
∴tan22.5°=$\frac{x}{\sqrt{2}x+x}$=$\sqrt{2}$-1；

（2）∵C为AD的中点，AB=BD，
∴AC=CD=5，
在Rt△ABC中，
∵tan22.5°=$\sqrt{2}$-1=$\frac{BC}{5}$，
∴BC=5$\sqrt{2}$-5（m），
答：中柱BC的长为（5$\sqrt{2}$-5）m．

点评 此题主要考查了解直角三角形的应用，正确正确做出辅助线是解题关键．