Question

3．如图，在△ABC中，CD为中线，tanB=$\frac{1}{2}$，sinA=$\frac{3}{5}$，CA=10，求cos∠ADC的值．

Answer 1

分析 作CE⊥AB于E，由三角函数求出CE=6，由勾股定理求出AE，由三角函数求出BE，得出AB，AD的长度，求出DE，再由勾股定理求出CD，然后由三角函数定义即可得出结果．

解答 解：作CE⊥AB于E，如图所示，
∵sinA=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{3}{5}$，CA=10，
∴CE=$\frac{3}{5}$×10=6，
∴AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵tanB=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∴BE=2CE=12，
∴AB=BE+AE=20，
∵CD为中线，
∴AD=10，
∴DE=AD-AE=10-8=2，
∴CD=$\sqrt{C{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴cos∠ADC=$\frac{DE}{CD}$=$\frac{2}{2\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查了解直角三角形、勾股定理、以及三角函数的定义，是中档题，难度不大，正确作出辅助线是解决问题的关键．