Question

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A点横坐标代入正比例函数，可求得A点坐标，代入反比例函数解析式，可求得反比例函数解析式；
（2）由条件可求得B、C的坐标，可先求得△ABC的面积，再结合△OPC与△ABC的面积相等，求得P点坐标．

解答 解：（1）∵A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，
∴在正比例函数y=2x中，当x=2时，y=4
∴A（2，4）
将A（2，4）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$，可得
4=$\frac{k}{2}$，即k=8
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{8}{x}$；

（2）∵AC⊥OC，
∴OC=2，
∵A、B关于原点对称，
∴B点坐标为（-2，-4），
∴B到OC的距离为4，
∴S_△ABC=2S_△ACO=2×$\frac{1}{2}$×2×4=8，
∴S_△OPC=8，
设P点坐标为（x，$\frac{8}{x}$），则P到OC的距离为|$\frac{8}{x}$|，
∴$\frac{1}{2}$×|$\frac{8}{x}$|×2=8，
解得x=1或-1，
∴P点坐标为（1，8）或（-1，-8）．

点评 本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，在解题时注意：选择OC作为△OCP的底，并根据面积的大小求得P点到OC的距离是解题的关键．