Question

在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．
（Ⅰ）若点M的坐标为（1，-1），
①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；
②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．
（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：代数综合题,压轴题

分析：（Ⅰ）①利用待定系数法求得直线OF与EA的直线方程，然后联立方程组

y=x y=3x-6

，求得该方程组的解即为点P的坐标；
②由已知可设点F的坐标是（1，t）．求得直线OF、EA的解析式分别是y=tx、直线EA的解析式为：y=（2+t）x-2（2+t）．则tx=（2+t）x-2（2+t），整理后即可得到y关于x的函数关系式y=x²-2x；
（Ⅱ）同（Ⅰ），易求P（2-

t

m

，2t-

t2

m

）．则由PQ⊥l于点Q，得点Q（1，2t-

t2

m

），则OQ²=1+t²（2-

t

m

）²，PQ²=（1-

t

m

）²，所以1+t²（2-

t

m

）²=（1-

t

m

）²，化简得到：t（t-2m）（t²-2mt-1）=0，通过解该方程可以求得m与t的关系式．

解答：解：（Ⅰ）①∵点O（0，0），F（1，1），
∴直线OF的解析式为y=x．
设直线EA的解析式为：y=kx+b（k≠0）、
∵点E和点F关于点M（1，-1）对称，
∴E（1，-3）．
又A（2，0），点E在直线EA上，
∴

0=2k+b -3=k+b

，
解得

k=3 b=-6

，
∴直线EA的解析式为：y=3x-6．
∵点P是直线OF与直线EA的交点，则

y=x y=3x-6

，
解得

x=3 y=3

，
∴点P的坐标是（3，3）．

②由已知可设点F的坐标是（1，t）．
∴直线OF的解析式为y=tx．
设直线EA的解析式为y=cx+d（c、d是常数，且c≠0）．
由点E和点F关于点M（1，-1）对称，得点E（1，-2-t）．
又点A、E在直线EA上，
∴

0=2c+d -2-t=c+d

，
解得

c=2+t d=-2(2+t)

，
∴直线EA的解析式为：y=（2+t）x-2（2+t）．
∵点P为直线OF与直线EA的交点，
∴tx=（2+t）x-2（2+t），即t=x-2．
则有 y=tx=（x-2）x=x²-2x；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，直线OF的解析式为y=tx．
直线EA的解析式为y=（t-2m）x-2（t-2m）．
∵点P为直线OF与直线EA的交点，
∴tx=（t-2m）x-2（t-2m），
化简，得 x=2-

t

m

．
有 y=tx=2t-

t2

m

．
∴点P的坐标为（2-

t

m

，2t-

t2

m

）．
∵PQ⊥l于点Q，得点Q（1，2t-

t2

m

），
∴OQ²=1+t²（2-

t

m

）²，PQ²=（1-

t

m

）²，
∵OQ=PQ，
∴1+t²（2-

t

m

）²=（1-

t

m

）²，
化简，得 t（t-2m）（t²-2mt-1）=0．
又∵t≠0，
∴t-2m=0或t²-2mt-1=0，
解得 m=

t

2

或m=

t2-1

2t

．
则m=

t

2

或m=

t2-1

2t

即为所求．

点评：本题考查了一次函数的综合题型．涉及到了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与直线的交点问题．此题难度不大，掌握好两直线间的交点的求法和待定系数法求一次函数解析式就能解答本题．