Question

如图，已知直线AB分别交x轴、y轴于点A（-4，0）、B（0，3），点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线AB向点B移动，同时，将直线y=

3

4

x以每秒0.6个单位的速度向上平移，分别交AO、BO于点C、D，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；
（2）当t取何值时，四边形ACDP为菱形？且指出此时以点D为圆心，以DO长为半径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：几何综合题

分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，由待定系数法就可以求出直线AB的解析式，再由点的坐标求出AO，BO的值，由勾股定理就可以得出AB的值，求出sin∠BAO的值，作PE⊥AO，表示出PE的值，得出PE=DO，就可以得出结论；
（2）由三角函数值表示CO的值，由菱形的性质可以求出菱形的边长，作DF⊥AB于F由三角函数值就可以求出DO，DF的值，进而得出结论．

解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，由题意，得

0=-4k+b 3=b

，
解得：

k= 3 4 b=3

，
∴y=

3

4

x+3．
∴直线AB∥直线y=

3

4

x．
∵A（-4，0）、B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
AB=5．
∴sin∠BAO=

3

5

，tan∠DCO=

3

4

．
作PE⊥AO，
∴∠PEA=∠PEO=90°
∵AP=t，
∴PE=0.6t．
∵OD=0.6t，
∴PE=OD．
∵∠BOC=90°，
∴∠PEA=∠BOC，
∴PE∥DO．
故四边形PEOD是平行四边形，
∴PD∥AO．
∵AB∥CD，
故四边形ACDP总是平行四边形；

（2）∵AB∥CD，
∴∠BAO=∠DCO，
∴tan∠DCO=tan∠BAO=

3

4

．
∵DO=0.6t，
∴CO=0.8t，
∴AC=4-0.8t．
∵四边形ACDP为菱形，
∴AP=AC，
∴t=4-0.8t，
∴t=

20

9

．
∴DO=

4

3

，AC=

20

9

．
∵PD∥AC，
∴∠BPD=∠BAO，
∴sin∠BPD=sin∠BAO=

3

5

．
作DF⊥AB于F．
∴∠DFP=90°，
∴DF=

4

3

．
∴DF=DO．
故以点D为圆心，以DO长为半径的圆与直线AB相切．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，勾股定理的运用，三角函数值的运用，平行四边形的判定及性质的运用，菱形的性质的运用，解答时灵活运用平行四边形的性质是关键．