如图.两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A′B′C′重合在一起.将三角板A′B′C′绕其直角顶点C′按逆时针方向旋转角α.有以下四个结论:①当α=30°时.A′C与AB的交点恰好为AB中点,②当α=60°时.A′B′恰好经过B,③在旋转过程中.存在某一时刻.使得AA′=BB′,④在旋转过程中.始终存在AA′⊥BB′.其中结论正确的序号是．(多填或填错得0分.少填酌情给� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A′B′C′重合在一起，将三角板A′B′C′绕其直角顶点C′按逆时针方向旋转角α（0＜α≤90°），有以下四个结论：
①当α=30°时，A′C与AB的交点恰好为AB中点；
②当α=60°时，A′B′恰好经过B；
③在旋转过程中，存在某一时刻，使得AA′=BB′；
④在旋转过程中，始终存在AA′⊥BB′，
其中结论正确的序号是

．（多填或填错得0分，少填酌情给分）

考点：旋转的性质

专题：

分析：根据全等三角形的性质可得AC=A′C，BC=B′C，再根据旋转角求出等边三角形，判断出①②正确，求出△AA′C和△BB′C相似，根据相似三角形对应边成比例求出AA′=2BB′，判断出③错误，再根据四边形的内角和等于360°求出AA′与BB′的夹角为90°，判断出④正确．

解答：解：∵直角三角板ABC和A′B′C′重合在一起，
∴AC=A′C，BC=B′C，
α=30°时，∠A′CB=60°，
∴A′C与AB的交点与点B、C构成等边三角形，
∴A′C与AB的交点为AB的中点，故①正确；
α=60°时，∠B′CB=60°，
∴A′B′恰好经过B，故②正确；
在旋转过程中，∠ACA′=∠BCB′=α，
∴△AA′C∽△BB′C，
∴

AA′

BB′

，
∴AA′=

BB′，故③错误；
∵∠CAA′=∠CBB′=

（180°-α），
∴AA′与BB′的夹角为360°-

（180°-α）×2-（90°+α）=90°，
∴在旋转过程中，始终存在AA′⊥BB′，故④正确；
综上所述，结论正确的是①②④．
故答案为：①②④．

点评：本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等的性质，相似三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．