Question

2．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O是斜边AB上一点，以O为圆心的⊙O分别与边AC、BC相切于点D、E，连接OD、OE．
（1）求证：四边形CDOE是正方形；
（2）若AC=3，BC=4，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形ODCE为矩形，再根据OD=OE，可得出四边形CDOE为正方形；
（2）连接OC，先设圆O的半径为r，利用面积法，列出方程即可解决问题；

解答 （1）证明：∵AC、BC分别为半圆O的切线，
∴∠ODC=∠OEC=90°，
∵∠C=90°，
∴四边形ODCE为矩形，
∵OD=OE，
∴四边形CDOE为正方形；

（2）解：连接OC，设⊙O的半径为r．
∵S_△ACB=S_△ACO+S_△BCO，
∴$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{1}{2}$•3•r+$\frac{1}{2}$•4•r，
∴r=$\frac{12}{7}$．

点评 本题考查了切线的性质以及正方形的判定，切线垂直于过切点的半径，三个角为直角且有一组邻边相等的四边形为正方形，解题的关键是学会利用面积法，构建方程解决问题，属于中考常考题型．．