Question

19．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB₁C₁D₁，边B₁C₁与CD交于点O，则四边形AB₁OD的面积是（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{7}{16}$
• C． $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
• D． $\sqrt{2}$-1

Answer 1

分析 连接AC₁，AO，根据四边形AB₁C₁D₁是正方形，得出∠C₁AB₁=∠AC₁B₁=45°，求出∠DAB₁=45°，推出A、D、C₁三点共线，在Rt△C₁D₁A中，由勾股定理求出AC₁，进而求出DC₁=OD，根据三角形的面积计算即可．

解答 方法一：
解：连接AC₁，
∵四边形AB₁C₁D₁是正方形，
∴∠C₁AB₁=$\frac{1}{2}$×90°=45°=∠AC₁B₁，
∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB₁C₁D₁，
∴∠B₁AB=45°，
∴∠DAB₁=90°-45°=45°，
∴AC₁过D点，即A、D、C₁三点共线，
∵正方形ABCD的边长是1，
∴四边形AB₁C₁D₁的边长是1，
在Rt△C₁D₁A中，由勾股定理得：AC₁=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
则DC₁=$\sqrt{2}$-1，
∵∠AC₁B₁=45°，∠C₁DO=90°，
∴∠C₁OD=45°=∠DC₁O，
∴DC₁=OD=$\sqrt{2}$-1，
∴S_△ADO=$\frac{1}{2}$×OD•AD=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，
∴四边形AB₁OD的面积是=2×$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$=$\sqrt{2}$-1，
方法二：
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=$\sqrt{2}$，∠OCB₁=45°，
∴CB₁=OB₁
∵AB₁=1，
∴CB₁=OB₁=AC-AB₁=$\sqrt{2}$-1，
∴S_△OB1C=$\frac{1}{2}$•OB₁•CB₁=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$-1）²，
∵S_△ADC=$\frac{1}{2}$AD•AC=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，
∴S_{四边形AB1OD}=S_△ADC-S_△OB1C=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$-1）²=$\sqrt{2}$-1；
故选：D．

点评 本题考查了正方形性质，勾股定理等知识点，主要考查学生运用性质进行计算的能力，正确的作出辅助线是解题的关键．