题目内容
4．
如图，一次函数y1=k1x+b 与反比例函数y2=$\frac{{k}_{2}}{x}$ 的图象交于点A（2，m）和B（-6，-2），与y轴交于点C．（1）y1=x+4，y2=$\frac{12}{x}$；
（2）根据函数图象可知，当 y1＜y2时，x的取值范围是x＜-6或0＜x＜2；
（3）过点A作AD⊥x轴于点D，求△ABD的面积和周长．
（4）点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，∠POD≤45°，P、O两点之间距离是5，在象限角平分线上有一点Q，且线段QP与QA和最小，求点Q的坐标．
分析 （1）由点B的坐标利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；由点A在反比例函数图象上结合点A的横坐标即可得出点A的坐标，再由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据两函数图象的上下位置关系，即可找出不等式的解；
（3）连接BD，由点A的坐标可求出D点的坐标，由两点间的距离公式即可求出AD、AB、BD的长度，从而可求出△ABD的周长，再根据三角形的面积公式即可求出△ABD的面积；
（4）过点O作第一三象限的角平分线l，连接AP交直线l于点Q，此时PQ+AQ最短，根据OP=5以及点P在反比例函数图象上即可求出点P的坐标，由点A、P的坐标利用待定系数法即可求出直线AP的解析式，联立直线AP和l解析式成方程组，解方程组即可得出结论．
解答 解：（1）∵点B（-6，-2）在反比例函数y2=$\frac{{k}_{2}}{x}$ 的图象上，
∴-2=$\frac{{k}_{2}}{-6}$，解得：k2=12，
∴反比例函数解析式为y2=$\frac{12}{x}$．
∵点A（2，m）在反比例函数y2=$\frac{12}{x}$的图象上，
∴m=$\frac{12}{2}$=6，即A（2，6）．
将A（2，6）、B（-6，-2）代入y1=k1x+b中，
得$\left\{\begin{array}{l}{2{k}_{1}+b=6}\\{-6{k}_{1}+b=-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴一次函数y1=x+4．
故答案为：x+4；$\frac{12}{x}$．
（2）观察函数图象，发现：
当x＜-6或0＜x＜2时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∴当 y1＜y2时，x的取值范围是x＜-6或0＜x＜2．
故答案为：x＜-6或0＜x＜2．
（3）连接BD，如图1所示．
∵点A（2，6），
∴点D（2，0），
∴AB=8$\sqrt{2}$，AD=6，BD=2$\sqrt{17}$，
∴C△ABD=AB+BD+AD=8$\sqrt{2}$+2$\sqrt{17}$+6．
S△ABD=$\frac{1}{2}$AD•（xA-xB）=$\frac{1}{2}$×6×[2-（-6）]=24．
（4）过点O作第一三象限的角平分线l，连接AP交直线l于点Q，此时PQ+AQ最短，如图2所示．
∵直线l为第一三象限的角平分线，
∴直线l的解析式为y=x．
设点P的坐标为（m，n）（0＜n＜m），
∵点P在反比例函数y2=$\frac{12}{x}$的图象上，且OP=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{mn=12}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=25}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=4}\end{array}\right.$（舍去），或$\left\{\begin{array}{l}{m=-4}\\{n=-3}\end{array}\right.$（舍去），或$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=-4}\end{array}\right.$（舍去），
∴点P（4，3）．
设直线AP的解析式为y=ax+c，
则有$\left\{\begin{array}{l}{6=2a+c}\\{3=4a+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{2}}\\{c=9}\end{array}\right.$，
∴直线AP的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+9．
联立直线AP、l的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{2}x+9}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{18}{5}}\\{y=\frac{18}{5}}\end{array}\right.$．
故点Q的坐标为（$\frac{18}{5}$，$\frac{18}{5}$）．
点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面以及周长，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据函数图象的上下位置关系解决不等式；（3）求出线段AD、AB、BD的长度；（4）找出点Q的位置．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式是关键．
导学教程高中新课标系列答案
如图所示，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，点N是边AC上一动点，则线段DN+MN的最小值为（ ）| A． | 4 | B． | 4$\sqrt{2}$ | C． | 2$\sqrt{17}$ | D． | 5 |
| A． | $\sqrt{12}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$ | B． | $\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$ | C． | $3\sqrt{5}-\sqrt{5}=3$ | D． | $3+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}$ |
如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上，OC=3，OA=2$\sqrt{6}$，D是BC的中点，将△OCD沿直线OD折叠后得到△OGD，延长OG交AB于点E，连接DE，则点G的坐标为（$\frac{6\sqrt{6}}{5}$，$\frac{3}{5}$）．| A． | $\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$ | B． | $\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$ | C． | $\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$ | D． | $\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-1}\end{array}\right.$ |
| A． | 四边形 | B． | 等腰三角形 | C． | 菱形 | D． | 梯形 |
