Question

13．已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，AD∥BC，E为CD上一点，且AE=AB，∠BAE=60°
（1）如图1，①求∠AED的度数；
②求证：DE=CE；
（2）如图2，过E作EF⊥CD交AB于点F，若$\frac{BF}{AF}$=$\frac{1}{2}$，求$\frac{AD}{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）①连接BE，作EH⊥AB于H，根据题意得到△ABE是等边三角形，根据等腰三角形的性质得到∠AEH=30°，∠BEC=∠C=75°，计算即可；
②根据平行线分线段成比例定理证明即可；
（2）作AG⊥AE交EF的延长线于G，证明△AFG≌△ADE，得到AF=AD，根据题意计算即可．

解答 解：（1）①如图1，连接BE，作EH⊥AB于H，
∵AE=AB，∠BAE=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB=∠ABE=60°，
∵EH⊥AB，
∴∠AEH=30°，
∵∠ABC=90°，∠ABE=60°，
∴∠EBC=30°，
∵BE=BC，
∴∠BEC=∠C=75°，
∴∠AED=180°-75°-60°=45°；
②∵EH⊥AB，∠ABC=90°，AD∥BC，
∴AD∥BC∥EH，又AH=HB，
∴DE=CE；
（2）如图2，作AG⊥AE交EF的延长线于G，
∵EF⊥CD，∠AED=45°，
∴∠AEG=45°，
∴∠AGE=45°，
∴AG=AE，
∵∠GEF=∠BAD=90°，
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△AFG和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AG=AE}\\{∠AGE=∠AED}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△ADE，
∴AF=AD，
∵$\frac{BF}{AF}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AF}{AB}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AD}{BC}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的判定定理和性质定理、等腰三角形的性质是解题的关键．