Question

11．如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：
①S_△CEF=S_△DEF；②△AOB相似于△FOE；③△DCE≌△CDF；④AC=BD
其中正确的结论是①②④．（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer 1

分析 设D（x，$\frac{k}{x}$），得出F（x，0），根据三角形的面积求出△DEF的面积，同法求出△CEF的面积，即可判断①；根据相似三角形的判定判断②即可；根据全等三角形的判定判断③即可；证出平行四边形BDFE和平行四边形ACEF，可推出AC=BD，判断④即可．

解答 解：①设D（x，$\frac{k}{x}$），则F（x，0），
由图象可知x＞0，k＞0，
∴△DEF的面积是：$\frac{1}{2}$×$\frac{k}{x}$×x=$\frac{1}{2}$k，
设C（a，$\frac{k}{a}$），则E（0，$\frac{k}{a}$），
由图象可知：a＞0，$\frac{k}{a}$＜0，
△CEF的面积是：$\frac{1}{2}$×|a|×|$\frac{k}{a}$|=$\frac{1}{2}$|k|，
∴△CEF的面积=△DEF的面积，
故①正确；
②△CEF和△DEF以EF为底，则两三角形EF边上的高相等，
∴EF∥CD，
∴FE∥AB，
∴△AOB∽△FOE，
故②正确；
③BD∥EF，DF∥BE，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴BE=DF，而只有当a=1时，才有CE=BE，
即CE不一定等于DF，故△DCE≌△CDF不一定成立；
故③错误；
④∵BD∥EF，DF∥BE，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴BD=EF，
同理EF=AC，
∴AC=BD，
故④正确；
正确的有3个：①②④．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了反比例函数综合题，三角形的面积，全等三角形的判定，相似三角形的判定，检查同学们综合运用定理进行推理的能力，关键是需要同学们牢固掌握课本知识．