Question

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AD=BC，AC⊥BC，∠DAB=∠B，AB=4cm，则四边形ABCD的周长为

10

cm．

Answer 1

分析：如图，过点C作CE∥AB交AB于点E，构建平行四边形AECD、等边△CEB．而在直角△ABC中求得BC=2cm．所以易求四边形ABCD的周长为10cm．

解答：解：如图，过点C作CE∥AB交AB于点E．
∵AB∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴DC=AE，AD=CE．
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°．
∵在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=∠B，
∴∠B+

1

2

∠DAB=

3

2

∠B=90°，
∴∠B=60°，
∴∠CEB=∠DAE=60°，BC=AB•cos60°=2cm
∴△CEB是等边三角形，
∴BC=CE=BE，
∴四边形ABCD的周长为：AD+DC+BC+AB=3BC+AB=10cm．
故填：10．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质．根据题意作出辅助线，构建平行四边形是解题的难点．