Question

已知⊙O为△ACD的外接圆，过C作CE⊥AC，交⊙O于G，联结ED，∠CDE=90°，点B为CE上一点，使得CA=CB=CD，⊙O交AB于点F．求证：F为△CDE的内心．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：证明题

分析：根据连接CF、DF、BD，可得出∠CDF=∠CAF=45°，则DF平分∠CDE，再根据CD=CB，得∠CDB=∠CBD，从而得出∠CDF=∠CAF=∠CBA，即可得出△CDF≌△CBF，则CF平分∠DCE，即可得出F为△CDE的内心．

解答：证明：连接CF、DF、BD，
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠CAB=∠CBA=45°
∴∠CDF=∠CAF=45°，
∴∠EDF=∠CDE-∠CDF=45°，
∴DF平分∠CDE，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠CBD，
∵∠CDF=∠CAF=∠CBA，
∴∠FDB=∠FBD，
∴DF=BF，
∵CD=CB，CF=CF，
在△CDF和△CBF中，

CD=CB ∠CDF=∠CBF DF=BF

，
∴△CDF≌△CBF（SAS），
∴∠DCF=∠BCF，
∴CF平分∠DCE，
∴点F是△CDF内心．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心，以及全等三角形的判定和性质，是中考常见题型，失分较多．