Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD且BC＞AB，BD=8．给出以下判断：

①AC垂直平分BD；

②四边形ABCD的面积S=ACBD；

③顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形可能是正方形；

④当A，B，C，D四点在同一个圆上时，该圆的半径为；

⑤将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，当BF⊥CD时，点F到直线AB的距离为．

其中正确的是_____．（写出所有正确判断的序号）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】依据AB=AD=5，BC=CD，可得AC是线段BD的垂直平分线，故①正确；依据四边形ABCD的面积S=，故②错误；依据AC=BD，可得顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形是正方形，故③正确；当A，B，C，D四点在同一个圆上时，设该圆的半径为r，则r2=（r﹣3）2+42，得r=，故④正确；连接AF，设点F到直线AB的距离为h，由折叠可得，四边形ABED是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4，依据S△BDE=×BD×OE=×BE×DF，可得DF=，进而得出GF=，再根据S△ABF=S梯形ABFD﹣S△ADF，即可得到h=，故⑤错误．

∵在四边形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD，

∴AC是线段BD的垂直平分线，故①正确；

四边形ABCD的面积S=，故②错误；

当AC=BD时，顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形是正方形，故③正确；

当A，B，C，D四点在同一个圆上时，设该圆的半径为r，则r2=（r﹣3）2+42，

得r=，故④正确；

将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，如图所示，

连接AF，设点F到直线AB的距离为h，

由折叠可得，四边形ABED是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4，

∴AO=EO=3，

∵S△BDE=×BD×OE=×BE×DF，

∴DF=，

∵BF⊥CD，BF∥AD，

∴AD⊥CD，GF=，

∵S△ABF=S梯形ABFD﹣S△ADF，

∴×5h=×（5+5+）×﹣×5×，

解得h=，故⑤错误，

故答案为：①③④．