Question

16．如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=$\frac{4}{3}$，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于-24．

Answer 1

分析 易证S_菱形ABCO=2S_△CDO，再根据tan∠AOC的值即可求得菱形的边长，即可求得点C的坐标，代入反比例函数即可解题．

解答 解：作DE∥AO，CF⊥AO，设CF=4x，

∵四边形OABC为菱形，
∴AB∥CO，AO∥BC，
∵DE∥AO，
∴S_△ADO=S_△DEO，
同理S_△BCD=S_△CDE，
∵S_菱形ABCO=S_△ADO+S_△DEO+S_△BCD+S_△CDE，
∴S_菱形ABCO=2（S_△DEO+S_△CDE）=2S_△CDO=40，
∵tan∠AOC=$\frac{4}{3}$，
∴OF=3x，
∴OC=$\sqrt{{OF}^{2}{+CF}^{2}}$=5x，
∴OA=OC=5x，
∵S_菱形ABCO=AO•CF=20x²，解得：x=$\sqrt{2}$，
∴OF=$3\sqrt{2}$，CF=$4\sqrt{2}$，
∴点C坐标为（-$3\sqrt{2}$，$4\sqrt{2}$），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点C，
∴代入点C得：k=-24，
故答案为-24．

点评 本题考查了菱形的性质，考查了菱形面积的计算，本题中求得S_菱形ABCO=2S_△CDO是解题的关键．