Question

17．阅读材料：
关于三角函数还有如下的公式：
Sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ
tan（α±β）=$\frac{tanα±tanβ}{1μtanα•tanβ}$
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，
例：tan15°=tan（45°-30°） 
=$\frac{tan45°-tan30°}{1+tan45°•tan30°}=\frac{{1-\frac{{\sqrt{3}}}{3}}}{{1+1×\frac{{\sqrt{3}}}{3}}}$
=$\frac{{（3-\sqrt{3}）（3-\sqrt{3}）}}{{（3+\sqrt{3}）（3-\sqrt{3}）}}$
=$\frac{{12-6\sqrt{3}}}{6}=2-\sqrt{3}$
根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面的问题
（1）计算sin15°；
（2）我县体育场有一移动公司的信号塔，小明想利用所学的数学知识来测量该塔的高度，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出该信号塔的高度．（精确到0.1米，参考数据：$\sqrt{3}≈1.732，\sqrt{2}$≈1.414）

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的公式，代入计算即可；
（2）根据仰角的概念、结合三角函数的公式、利用正切的定义计算．

解答 解：（1）
$\begin{array}{l}sin15°=sin（45°-30°）\\=sin45°cos30°-cos45°sin30°\\=\frac{{\sqrt{2}}}{2}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}•\frac{1}{2}\\=\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}\end{array}$
（2）在RT△BDE中，DE=AC=7，
∠BDE=75°，
tan∠BDE=$\frac{BE}{DE}$，
∴BE=DEtan∠BDE
=DEtan75°，
∵tan75°=tan（45°+30°）
$\begin{array}{l}=\frac{tan45°+tan30°}{1-tan45°tan30°}\\=\frac{{1+\frac{{\sqrt{3}}}{3}}}{{1-\frac{{\sqrt{3}}}{3}}}\\=\frac{{3+\sqrt{3}}}{{3-\sqrt{3}}}\\=2+\sqrt{3}\end{array}$
∴BE=7（2+$\sqrt{3}$）≈26.12，
∴信号塔AB的高度≈26.12+1.62≈27.7（米），
答：该信号塔AB的高度约为27.7米．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义、理解三角函数公式是解题的关键．