Question

8．如图，四边形ABCO是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交⊙O于点E，连接CE、CD，若CD是⊙O的切线，解答下列问题：
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BC=3，CE=4，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，证出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）连接OE，交OC于点F，利用三角形相似的性质，勾股定理求得OF，进一步利用三角形的中位线求出即可．

解答 （1）证明：∵CE是⊙O的切线，
∴∠OEC=90°，
如图1，连接OD，

∵四边形OABC是平行四边形，
∴AO=BC，OC=AB，OC∥AB，
∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ODA，
∴∠EOC=∠DOC，
在△EOC和△DOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OD}\\{∠EOC=∠DOC}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△EOC≌△DOC（SAS），
∴∠ODC=∠OEC=90°，
∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；

（2）解：如图2，连接OE，交OC于点F，

∵OE=OA=BC=3，CE=4，∠OEC=90°，
∴OC=$\sqrt{O{E}^{2}+C{E}^{2}}$=5，
∵OE•CE=OC•EF，
∴EF=$\frac{4×3}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∴OF=$\sqrt{O{E}^{2}-E{F}^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∵CD、CE是⊙O的切线，
∴OC垂直平分DE，
∵点O是AE的中点，F是DE的中点，
∴AD=2OF=$\frac{18}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，三角形的中位线定理，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．