Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l₁过点A（1，0）且与y轴平行，直线l₂过点B（0，2）且与x轴平行，直线l₁与直线l₂相交于点P．点E为直线l₂上一动点，反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象过点E与直线l₁相交于点F．
（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接OE、OF、EF．请将△OEF的面积用k表示出来；
（3）是否存在点E使△OEF 的面积为△PEF面积的2倍？若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据反比例函数中k=xy进行解答即可；
（2）需要分类讨论：分当0＜k＜2，k=2，k＞2时三种情况来求△OEF的面积；
（3）根据（2）中的△PEF与△OEF的面积来求k的值，从而求得点E的坐标．

解答：解：（1）根据题意知，P（1，2）．若点E与点P重合，则k=xy=1×2=2；

（2）①当0＜k＜2时，如图1所示．
根据题意知，四边形OAPB是矩形，且BP=1，AP=2．
∵点E、F都在反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象上，
∴E（

k

2

，2），F（1，k）．则BE=

k

2

，PE=1-

k

2

，AF=k，PF=2-k，
∴S_△OEF=S_矩形OAPB-S_△OBE-S_△PEF-S_△OAF
=1×2-

1

2

×

k

2

×2-

1

2

×（1-

k

2

）×（2-k）-

1

2

×1×k
=-

1

4

k²+1；
②当k=2时，由（1）知，△OEF不存在；
③当k＞2时，如图2所示．点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形．
∵PF⊥PE，
∴S_△FPE=

1

2

PE•PF=

1

2

（

k

2

-1）（k-2）=

1

4

k²-k+1，
∴四边形PFGE是矩形，
∴S_△PFE=S_△GEF，
∴S_△OEF=S_矩形OCGD-S_△DOF-S_△GEF-S_△OCE
=

k

2

•k-

k

2

-（

1

4

k²-k+1）-

k

2

=

1

4

k²-1；

（3）当k＞0时，存在点E使△OEF 的面积为△PEF面积的2倍．理由如下：
①如图1所示，当0＜k＜2时，S_△PEF=

1

2

×（1-

k

2

）×（2-k）=

(2-k)2

4

，
S_△OEF=-

1

4

k²+1，
则

(2-k)2

4

×2=-

1

4

k²+1，
解得，k=2（舍去），或k=

2

3

；
②由（1）知，k=2时，△OEF与△PEF不存在；
③如图2所示，当k＞2时，S_△PEF=-

1

4

k²+k-1，S_△OEF=

1

4

k²-1，
则2（-

1

4

k²+k-1）=

1

4

k²-1，
解得k=

2

3

（不合题意，舍去），或k=2（不合题意，舍去），
则E点坐标为：（3，2）．

点评：本题考查的是反比例函数的性质、勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，再由直角三角形的面积公式和“分割法”来求△OEF的面积．