Question

8．如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上的一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=α，且cosα=$\frac{4}{5}$，DE交AC于点E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）探究：在点D运动过程中，△ADE能否构成等腰三角形？若能，求出BD的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，易得∠B=∠C，又由∠ADE=∠B=α，根据三角形外角的性质，可证得∠BAD=∠EDC，继而证得结论；
（2）分别从DE=AD与DE=AE去分析求解即可求得答案．

解答 （1）证明：∵在△ABC中，AB=AC=10，
∴∠B=∠C，
∵∠ADE=∠B=α，∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE；

（2）解：过点A作AF⊥BC于点F，
①若DE=AD，则△ABD≌△DCE，
∴CD=AB=10，
∵∠ADE=∠B=α，且cosα=$\frac{4}{5}$，
∴BF=AB•cosα=10×$\frac{4}{5}$=8，
∵AB=AC，
∴BC=2BF=16，
∴BD=BC-CD=6；
②若DE=AE，则∠EAD=∠ADE，
∵∠B=∠C=∠ADE=α，
∴∠B=∠ADE，∠EAD=∠C，
∴△ABC∽△EAD，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{5}{8}$，
∵△ABD∽△DCE，
∴$\frac{CD}{AB}=\frac{DE}{AD}=\frac{5}{8}$，
∴CD=$\frac{25}{4}$，
∴BD=$\frac{39}{4}$；
综上所述：△ADE能够成等腰三角形，BD=6或$\frac{39}{4}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质．注意准确作出辅助线，利用分类讨论思想求解是解此题的关键．