Question

12．如图，在四边形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠B=90°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）若AB=1，求S_{四边形ABCD}的值．

Answer 1

分析 （1）连接AC，设AB、BC、CD、DA分别为2x、2x、3x、x，根据等腰直角三角形的性质求出∠BAC=45°，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠CAD=90°，计算即可；
（2）根据（1）的结论，利用三角形面积公式计算即可．

解答 解：（1）连接AC，
设AB、BC、CD、DA分别为2x、2x、3x、x，
∵∠B=90°，AB=2x，BC=2x，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$x，∠BAC=45°，
∵AC²+AD²=（2$\sqrt{2}$x）²+x²=9x²，CD²=9x²，
∴AC²+AD²=CD²，
∴∠CAD=90°，
∴∠DAB=∠BAC+∠CAD=135°；
（2）∵AB=1，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，
∴BC=1，CD=$\frac{3}{2}$，AD=$\frac{1}{2}$，
由（1）得AC=$\sqrt{2}$，
S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△DAC=$\frac{1}{2}$×AB×BC$+\frac{1}{2}$×AD×AC=$\frac{1+\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c²．如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形就是直角三角形．