Question

14．如图，点D是△ABC的边AC上一点，且AB=CD，∠BAC=60°，点E是BD的中点．求证：BC=2AE．

Answer 1

分析 延长AE至F，使EF=AE，连接BF、DF、CF，则AF=2AE，证明四边形ABFD是平行四边形，得出AB∥DF，AB=DF，BF=AD，证出∠ADF=120°，△CDF是等边三角形，得出CF=DF=CD=AB，∠DCF=60°，得出∠BFC=120°，由SAS证明△BCF≌△AFD，得出BC=AF，即可得出结论．

解答 证明：延长AE至F，使EF=AE，连接BF、DF、CF，如图所示：
则AF=2AE，
∵点E是BD的中点，
∴BE=DE，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴AB∥DF，AB=DF，BF=AD，
∴∠CDF=∠BAC=60°，
∴∠ADF=120°，
∵AB=CD，
∴DF=CD，
∴△CDF是等边三角形，
∴CF=DF=CD=AB，∠DCF=60°，
∴∠BFC=120°，
∴∠BFC=∠ADF，
在△BCF和△AFD中，$\left\{\begin{array}{l}{BF=AD}&{\;}\\{∠BFC=∠ADF}&{\;}\\{CF=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△AFD（SAS），
∴BC=AF，
∴BC=2AE．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；通过作辅助线证出平行四边形和全等三角形是解决问题的关键．