Question

已知二次函数y=x²-kx+k-1（ k＞2）．
（1）求证：抛物线y=x²-kx+k-1（ k＞2）与x轴必有两个交点；
（2）抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若tan∠OAC=3，求抛物线的表达式；
（3）以（2）中的抛物线上一点P（m，n）为圆心，1为半径作圆，直接写出：当m取何值时，x轴与⊙P相离、相切、相交．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）抛物线与x轴有两个交点，通过证明判别式△=b²-4ac＞0即可；
（2）根据题意可设A（1，0），C（0，a），根据三角函数可得点C（0，3），再代入即可得到k的值，从而得到抛物线的表达式；
（3）分别根据点P与x轴的距离＞1，=1或＜1，列出关于m的方程或不等式，进一步得到当m取何值时，x轴与⊙P相离、相切、相交．

解答：解：（1）根据题意有：△=k²-4k+4=（k-2 ）²，
∵k＞2，
∴△＞0，
所以抛物线与x轴必有两个交点．

2）设f（x）=x²-kx+k-1
根据题意知
对称轴x=

k

2

＞1，且f（1）=0，f（0）=k-1＞1
∴可设A（1，0），C（0，a）
在RT△COA中，tan∠OAC=3=

OC

OA

=

a

1

，
∴a=3
∴点C（0，3）
把点C代入抛物线求得k=4，
故抛物线的表达式为y=x²-4x+3．

（3）当m²-4m+3=-1，即m=2或m²-4m+3=1，即m=2±

2

时，x轴与⊙P相切；
当m＜2-

2

或m＞2+

2

时，x轴与⊙P相离；
当2-

2

＜m＜2+

2

且时m≠2，x轴与⊙P相交．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：判别式，三角函数，待定系数法求函数解析式，方程思想，直线与圆的位置关系，综合性较强，有一定的难度．