Question

已知：⊙O的半径长为5，点A、B、C在⊙O上，AB=BC=6，点E在射线BC上．
（1）如图1，联结AE、CE，求证：AE=CE；
（2）如图2，以点C为圆心，CO为半径画弧交半径OB于D，求BD的长．
（3）当OE=

11

5

时，求线段AE的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）证明：作OF⊥AB于F，OH⊥BC于H，由AB=BC，根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系OF=OH，根据角平分线的判定得到BE平分∠ABC，然后利用“SAS”可判断△ABE≌△CBE，则AE=CE；
（2）作CN⊥BE于N，OM⊥BC于M，由OB=OC，根据等腰三角形的性质得BM=CM=

1

2

BC=3，在Rt△BMO中，根据勾股定理计算出OM=4，在利用面积法计算出CN=

24

5

，
在Rt△OCN中利用勾股定理计算出ON=

7

5

，由CD=CN，根据等腰三角形的性质得ON=DN，则BD=OB-2ON=

11

5

；
（3）作CN⊥BE于N，由（2）得CN=

24

5

，ON=

7

5

，分类讨论：当E在OB的延长线上，NE=ON+OE=

18

5

，在Rt△CEN中，根据勾股定理计算出CE=6；当E在OB上，即OE′=

11

5

，NE′=OE′-ON=

4

5

，在Rt△CE′N中，根据勾股定理计算出CE′=

4 37

5

，即CE的长为6或

4 37

5

，由于AE=CE，所以AE的长为6或

4 37

5

．

解答：（1）证明：作OF⊥AB于F，OH⊥BC于H，如图1，
∵AB=BC，
∴OF=OH，
∴BE平分∠ABC，
在△ABE和△CBE中

AB=CB ∠ABE=∠CBE BE=BE

，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE=CE；
（2）解：作CN⊥BE于N，OM⊥BC于M，如图2，
∵OB=OC，
∴BM=CM=

1

2

BC=3，
在Rt△BMO中，OB=5，BM=3，
∴OM=

OB2-BM2

=4，
∵

1

2

OM•BC=

1

2

CN•OB，
∴CN=

4×6

5

=

24

5

，
在Rt△OCN中，OC=5，
∴ON=

OC2-CN2

=

7

5

，
∵CO=CD，
∴ON=DN，
∴BD=OB-2ON=5-2×

7

5

=

11

5

；
（3）解：作CN⊥BE于N，如图，
由（2）得CN=

24

5

，ON=

7

5

，
当E在OB的延长线上，NE=ON+OE=

7

5

+

11

5

=

18

5

，
在Rt△CEN中，CE=

NE2+CN2

=

( 18 5 )2+( 24 5 )2

=6；
当E在OB上，即OE′=

11

5

，NE′=OE′-ON=

11

5

-

7

5

=

4

5

，
在Rt△CE′N中，CE′=

NE′2+CN2

=

( 4 5 )2+( 24 5 )2

=

4 37

5

，
∴CE的长为6或

4 37

5

，
∵AE=CE，
∴AE的长为6或

4 37

5

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系和三角形全等的判定与性质；也考查了分类讨论的思想和勾股定理．