Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D为圆上两点，且

CB

=

CD

，CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E．
（1）试说明：DE=BF；
（2）若∠DAB=60°，AB=8，求△ACD的面积．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,圆心角、弧、弦的关系

专题：常规题型

分析：（1）可以证明Rt△CED≌Rt△CFB即可求得DE=BF；
（2）易证△CAE≌△CAF，根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半即可求得CF，BF的值，即可解题．

解答：证明：（1）∵弧CB=弧CD
∴CB=CD，∠CAE=∠CAB
又∵CF⊥AB，CE⊥AD
∵在Rt△CED和Rt△CFB中，

CE=CF CD=CB

，
∴Rt△CED≌Rt△CFB（HL）
∴DE=BF；
（2）∵△CAE和△CAF中，

AC=AC CE=CF

，
∴△CAE≌△CAF（HL）
∴∠CAE=∠CAB，
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∵∠DAB=60°
∴∠CAB=30°，AB=8
∴BC=4，
∵CF⊥AB
∴∠FCB=30°
∴CF=

3

，BF=2
∴S_△ACD=S_△ACE-S_△CDE=S_△ACF-S_△CFB=4

3

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证DE=BF是解题的关键．