Question

11．（1）已知关于x的方程x²-kx-6=0的一个根为x=3，求另一个根及实数k的值．
（2）当k为何值时，关于x的方程kx²-（2k+1）x+k+3=0有两个不相等的实数根？

Answer 1

分析 （1）把x₁=3代入已知方程，列出关于k的一元一次方程，通过解方程求得k的值；由根与系数的关系来求方程的另一根即可；
（2）根据方程有两个不相等实数根，得出根的判别式△＞0，再建立关于k的不等式，求得k的取值范围，最后根据二次项系数不为零，从而得出答案．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²-kx-6=0的一个根是x₁=3，
∴3²-3k-6=0，
解得k=1．
又∵x₁•x₂=-6，即3x₂=-6，
∴x₂=-2．
综上所述，k的值是1，方程的另一个根是-2；

（2）∵方程kx²-（2k+1）x+k+3=0，有两个不相等的实数根，
∴△=[-（2k+1）]²-4×k（k+3）=-8k+1＞0，
∴k＜$\frac{1}{8}$，
∴当k＜$\frac{1}{8}$且k≠0时方程有两个不相等的实数根．

点评 本题考查了根与系数的关系和根的判别式的知识，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．