Question

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x²-3x的图象与x轴相交于O、A两点．
（1）求A点和顶点C的坐标；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
（3）对于（2）中的点B，在直线OB下方的抛物线上是否存在点P，使得△POB的面积最大？若存在，求出△POB的最大面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用配方法以及一元二次方程的解法得出A，C点坐标；
（2）先确定A（3，0）和抛物线的对称轴，设B（x，x²-3x），再根据三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•3•|x²-3x|=6，则x²-3x=4或x²-3x=-4，然后分别解方程求出x即可确定满足条件的B点坐标；
（3）利用△POB的面积最大则此时P到OB的距离最大，即PO⊥OB时，进而得出P点坐标求出答案．

解答 解：（1）当y=0，则0=x²-3x，
故x（x-3）=0，
解得：x₁=0，x₂=3，
故A（3，0），
y=x²-3x=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
故C（$\frac{3}{2}$，-$\frac{9}{4}$）；

（2）设B（x，x²-3x），
因为△AOB的面积等于6，
所以$\frac{1}{2}$•3•|x²-3x|=6，
当x²-3x=4时，解得x₁=-1，x₂=4，则B点坐标为（4，4）；
当x²-3x=-4时，方程无实数解．
所以点B的坐标为（4，4）；

（3）∵在直线OB下方的抛物线上是否存在点P，使得△POB的面积最大，
∴此时P到OB的距离最大，即PO⊥OB时，
∵B（4，4），∴直线OB的解析式为：y=x，
∴OP的解析为：y=-x，则设P点坐标为：（x，-x），
∵P点在抛物线上，
∴y=x²-3x=-x，
解得：x₁=0（不合题意舍去），x₂=2，故P（2，-2），
∴OP=2$\sqrt{2}$，
∴△POB的面积最大为：$\frac{1}{2}$×OB×2$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=8．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及三角形面积求法、配方法求抛物线顶点坐标等知识，正确得出P点位置是解题关键．