Question

1．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点
M，N，若AB=mAM，AC=nAN，则m+n=2．

Answer 1

分析 过点B作BD∥AC，首先证明△BDO≌△CNO，则BD=NC．由题意可知BM=（1-m）AM，BD=NC=（n-1）AN，接下来证明△MBD∽△MAN由相似三角形的性质列出关于m、n的比例式，整理比例式可得到m+n的值．

解答 解：过点B作BD∥AC．

∵BD∥CN，
∴∠DBO=∠C．
在△BDO和△CNO中$\left\{\begin{array}{l}{∠DBO=∠C}\\{BO=OC}\\{∠BOD=∠CON}\end{array}\right.$，
∴△BDO≌△CNO．
∴BD=NC．
∵AB=mAM，AC=nAN，
∴BM=（1-m）AM，BD=NC=（n-1）AN．
∵BD∥CN，
∴△MBD∽△MAN．
∴$\frac{BD}{AN}=\frac{MB}{AM}$，即$\frac{（n-1）AN}{AN}=\frac{（1-m）AM}{AM}$，
整理得：n-1=1-m，
移项、合并同类项得：m+n=2．
故答案为：2．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．