Question

20．如图，在平面直角坐标系中，与y轴相切的⊙P的圆心是（2，a）且（a＞2），
函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为2$\sqrt{3}$，则a的值是（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 2+$\sqrt{3}$
• C． 2+$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 作PH⊥y轴于H，PC⊥AB于C，作PE⊥x轴于E交AB于D，如图，先根据切线的性质得PH=2，即⊙P的半径为2，再根据垂径定理，由PC⊥AB得到BC=CD=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，接着在Rt△BPC中利用勾股定理可计算出PC=1，由直线y=x为第一、三象限的角平分线得到∠DOE=45°，则∠ODE=45°，DE=OE=2，然后判断△PCD为等腰直角三角形得到PD=$\sqrt{2}$PC=$\sqrt{2}$，所以PE=PD+DE=2+$\sqrt{2}$，即a=2+$\sqrt{2}$．

解答 解：作PH⊥y轴于H，PC⊥AB于C，作PE⊥x轴于E交AB于D，如图，
∵⊙P与y轴相切，
∴PH=2，即⊙P的半径为2，
∵PC⊥AB，
∴BC=CD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
在Rt△BPC中，PC=$\sqrt{P{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1，
∵直线y=x为第一、三象限的角平分线，
∴∠DOE=45°，
∴∠ODE=45°，DE=OE=2，
∴∠PDC=45°，
∴PD=$\sqrt{2}$PC=$\sqrt{2}$，
∴PE=PD+DE=2+$\sqrt{2}$．
故选C．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了坐标与图形性质、勾股定理和垂径定理．