Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以每秒2cm的速度沿AB向终点B移动，点Q以每秒1cm的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间是x秒．
（1）用含x的代数式表示BQ，PB的长度；
（2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形；
（3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20平方厘米？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先运用勾股定理求出AB边的长度，然后根据路程=速度×时间，分别表示出BQ、PB的长度；
（2）由于∠B=90°，如果△PBQ为等腰三角形，那么只有一种情况，即BP=BQ，由（1）的结果，可列出方程，从而求出x的值；
（3）根据四边形APQC的面积=△ABC的面积-△PBQ的面积，列出方程，根据解的情况即可判断．

解答 解：（1）∵∠B=90°，AC=10，BC=6，
∴AB=8．
∴BQ=x，PB=8-2x；

（2）由题意，得
8-2x=x，
∴x=$\frac{8}{3}$．
∴当x=$\frac{8}{3}$时，△PBQ为等腰三角形；

（3）假设存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm²，
则 $\frac{1}{2}$×6×8-$\frac{1}{2}$x（8-2x）=20，
解得x₁=x₂=2．
∴假设成立，所以当x=2时，四边形APQC面积的面积等于20cm²．

点评 本题考查了三角形综合题、动点问题、勾股定理，路程与速度、时间的关系，等腰三角形的性质以及不规则图形的面积计算，综合性较强，解题的关键是用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．