Question

7．如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 通过延长CF，将DE和BF放在一起，便于寻找等量关系，通过两次三角形全等证明，得出结论．

解答 猜想：DE+BF=EF．证明：延长CF，作∠4=∠1，如图：

∵将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB，
∴∠1+∠2=∠3+∠5，∠2+∠3=∠1+∠5，
∵∠4=∠1，
∴∠2+∠3=∠4+∠5，
∴∠GAF=∠FAE，
在△AGB和△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠4=∠1}\\{AB=AD}\\{∠ABG=∠ADE}\end{array}\right.$，
∴△AGB≌△AED（ASA），
∴AG=AE，BG=DE，
在△AGF和△AEF中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}\\{∠GAF=∠EAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AGF≌△AEF（SAS），
∴GF=EF，
∴DE+BF=EF．
证毕．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助角，将DE和BF放在一起，便于数量关系的猜想和证明．