Question

5．（1）用“＞”、“=”或“＜”填空．
$\sqrt{3}-\sqrt{2}$＜$\sqrt{2}-1$；2-$\sqrt{3}$＜$\sqrt{3}-\sqrt{2}$；$\sqrt{5}-2$＜2-$\sqrt{3}$；$\sqrt{6}-\sqrt{5}$＜$\sqrt{5}-2$…
（2）观察上式，请用含n-1，n，n=1（n≥1）的式子，把你发现的结论表示出来，并证明结论的正确性．

Answer 1

分析 （1）首先用1除以每个数，求出商是多少；再比较出它们商的大小；然后根据商越大，则原来的数就越小，判断出它们的大小关系即可；
（2）根据（1）中组成的式子，可得$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}＜\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$，然后比较出$\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}$和2$\sqrt{n}$的平方的大小，即可证明出结论的正确性．

解答 解：（1）根据分析，可得
$\sqrt{3}-\sqrt{2}$＜$\sqrt{2}-1$； 2-$\sqrt{3}$＜$\sqrt{3}-\sqrt{2}$； $\sqrt{5}-2$＜2-$\sqrt{3}$； $\sqrt{6}-\sqrt{5}$＜$\sqrt{5}-2$…
（2）根据（1）中组成的式子，
可得$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}＜\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$，
因为${（\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}）}^{2}$-${（2\sqrt{n}）}^{2}$
=2n$+2\sqrt{（n+1）（n-1）}$-4n
=2（$\sqrt{（n+1）（n-1）}$-n）
=2（$\sqrt{{n}^{2}-1}$-n）
＜2（n-n）
=0，
所以$\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}＜2\sqrt{n}$，
所以$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}＜\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$成立．
故答案为：＜、＜、＜、＜．

点评 此题主要考查了实数大小的比较，以及不等式的证明，解答此题的关键是要明确：被除数一定时，商越大，则除数越小．